Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có cạnh $A{A}'=2$, đáy $ABCD$ là hình thoi với $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ${B}'{C}', {C}'{D}', D{D}'$ và $\text{Q}$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $QC=3QB$. Tính thể tích tứ diện $MNPQ$.
A. $3\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I=NP\cap C{C}'$ ; $K=IQ\cap {B}'{C}'$. Do $N, P$ lần lượt là trung điểm của ${C}'{D}', D{D}'$ nên $\text{N}$ là trung điểm của $IP$ và $I{C}'={D}'P=\dfrac{1}{2}C{C}'$. Suy ra: ${{V}_{MNPQ}}={{V}_{MNIQ}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta IMQ}}.d\left( N, \left( IMQ \right) \right) \left( 1 \right)$.
Theo giả thiết $\Delta {A}'{B}'{C}'$ đều nên ${A}'M\bot {B}'{C}'$, mà ${A}'M\bot {B}'B$ ( do $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp đứng). Suy ra: ${A}'M\bot \left( B{B}'{C}'C \right)$.
Do đó: $d\left( N, \left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {D}', \left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{1}{2}{A}'M=\sqrt{3}$.
Ta có: $\dfrac{IK}{IQ}=\dfrac{I{C}'}{IC}=\dfrac{K{C}'}{QC}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \dfrac{IQ}{KQ}=\dfrac{3}{2}; K{C}'=\dfrac{1}{3}QC=\dfrac{1}{4}BC=1$.
Suy ra: ${{S}_{\Delta IMQ}}=\dfrac{IQ}{KQ}{{S}_{\Delta KMQ}}=\dfrac{3}{2}{{S}_{\Delta KMQ}}=\dfrac{3}{4}MK.B{B}'=\dfrac{3}{4}.\left( M{C}'-K{C}' \right)B{B}'=\dfrac{3}{4}.\left( 2-1 \right).2=\dfrac{3}{2}$.
Vậy từ $\left( 1 \right)$ ta có: ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
A. $3\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $I=NP\cap C{C}'$ ; $K=IQ\cap {B}'{C}'$. Do $N, P$ lần lượt là trung điểm của ${C}'{D}', D{D}'$ nên $\text{N}$ là trung điểm của $IP$ và $I{C}'={D}'P=\dfrac{1}{2}C{C}'$. Suy ra: ${{V}_{MNPQ}}={{V}_{MNIQ}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta IMQ}}.d\left( N, \left( IMQ \right) \right) \left( 1 \right)$.
Theo giả thiết $\Delta {A}'{B}'{C}'$ đều nên ${A}'M\bot {B}'{C}'$, mà ${A}'M\bot {B}'B$ ( do $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình hộp đứng). Suy ra: ${A}'M\bot \left( B{B}'{C}'C \right)$.
Do đó: $d\left( N, \left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {D}', \left( IMQ \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{1}{2}{A}'M=\sqrt{3}$.
Ta có: $\dfrac{IK}{IQ}=\dfrac{I{C}'}{IC}=\dfrac{K{C}'}{QC}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \dfrac{IQ}{KQ}=\dfrac{3}{2}; K{C}'=\dfrac{1}{3}QC=\dfrac{1}{4}BC=1$.
Suy ra: ${{S}_{\Delta IMQ}}=\dfrac{IQ}{KQ}{{S}_{\Delta KMQ}}=\dfrac{3}{2}{{S}_{\Delta KMQ}}=\dfrac{3}{4}MK.B{B}'=\dfrac{3}{4}.\left( M{C}'-K{C}' \right)B{B}'=\dfrac{3}{4}.\left( 2-1 \right).2=\dfrac{3}{2}$.
Vậy từ $\left( 1 \right)$ ta có: ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.