Cho hình hộp đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh $A A^{'} = 2$ , đáy...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho hình hộp đứng

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có cạnh

A A^{'} = 2

, đáy

A B C D

là hình thoi với

A B C

là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi

M, N, P

lần lượt là trung điểm của

B^{'} C^{'}, C^{'} D^{'}, D D^{'}

và

Q

thuộc cạnh

B C

sao cho

Q C = 3 Q B

. Tính thể tích tứ diện

M N P Q

.
A.

3 \sqrt{3}

.
B.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.
C.

\frac{\sqrt{3}}{4}

.
D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

Gọi

I = N P \cap C C^{'}

;

K = I Q \cap B^{'} C^{'}

. Do

N, P

lần lượt là trung điểm của

C^{'} D^{'}, D D^{'}

nên

N

là trung điểm của

I P

và

I C^{'} = D^{'} P = \frac{1}{2} C C^{'}

. Suy ra:

V_{M N P Q} = V_{M N I Q} = \frac{1}{3} S_{Δ I M Q} . d (N, (I M Q)) (1)

.
Theo giả thiết

Δ A^{'} B^{'} C^{'}

đều nên

A^{'} M ⊥ B^{'} C^{'}

, mà

A^{'} M ⊥ B^{'} B

( do

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình hộp đứng). Suy ra:

A^{'} M ⊥ (B B^{'} C^{'} C)

.
Do đó:

d (N, (I M Q)) = \frac{1}{2} d (D^{'}, (I M Q)) = \frac{1}{2} d (A^{'}, (B C C^{'} B^{'})) = \frac{1}{2} A^{'} M = \sqrt{3}

.
Ta có:

\frac{I K}{I Q} = \frac{I C^{'}}{I C} = \frac{K C^{'}}{Q C} = \frac{1}{3}

\Rightarrow \frac{I Q}{K Q} = \frac{3}{2}; K C^{'} = \frac{1}{3} Q C = \frac{1}{4} B C = 1

.
Suy ra:

S_{Δ I M Q} = \frac{I Q}{K Q} S_{Δ K M Q} = \frac{3}{2} S_{Δ K M Q} = \frac{3}{4} M K . B B^{'} = \frac{3}{4} . (M C^{'} - K C^{'}) B B^{'} = \frac{3}{4} . (2 - 1) .2 = \frac{3}{2}

.
Vậy từ

(1)

ta có:

V_{M N P Q} = \frac{1}{3} . \frac{3}{2} . \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Đáp án D.

Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh AA′=2, đáy...