Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài một...

Cách giải:

Gọi hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{tp}}=2ab+2bc+2ca=36 \\
& BD'=\sqrt{B{{B}^{'}}^{2}+B'{{D}^{'2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& ab+bc+ca=18 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=36 \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)=72 \\
& \Leftrightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{2}}=72\Leftrightarrow a+b+c=6\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Do a,b,cbình đẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử
a= min {a;b;} ⇒ a≤ $2\sqrt{2}$.
Mặt khác
$ab+ac+bc=18\Rightarrow bc=18-a\left( b+a \right)=18-a\left( 6\sqrt{2}-a \right)$
$={{a}^{2}}-6\sqrt{2a}+18={{\left( a-3\sqrt{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow V=abc=a{{\left( a-3\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}2a{{\left( 3\sqrt{2}-a \right)}^{2}}$
$\le \dfrac{1}{2}{{\left[ \dfrac{2a+3\sqrt{2}-a+3\sqrt{2}-a}{3} \right]}^{3}}$
$=\dfrac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{3}}=8\sqrt{2}$
Vậy V ${{_{m}}_{\text{ax}}}$ $=8\sqrt{2}\Leftrightarrow 2a=3\sqrt{2}-a\Leftrightarrow a=\sqrt{2}$