Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà B'Cbằng
$\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng BCvà AB'bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng ACvà BD'bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
A. 4a3
B. 2a3
C. 6a3
D. 8a3
$\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng BCvà AB'bằng $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa hai đường thẳng ACvà BD'bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
A. 4a3
B. 2a3
C. 6a3
D. 8a3
Phương pháp:
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng dvà d' là khoảng cách từ 1 điểm trên dđến mặt phẳng (α) đi qua d' và song song với d.
Tính cách kích thước của hình hộp chữ nhật qua các khoảng cách giữa 2 đường thẳng đã cho.
Cách giải:
Đặt $AA'=x;AB=y;AD=z$
Qua B, kẻ $BH\bot B'C(H\in B'C),BK\bot AB'(K\in ~AB')~$
Ta thấy BHlà đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng ABvà 'B Cnên BH= $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
BKlà đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng BCvà AB' nên BK= $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Do đó ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi Mlà trung điểm DD', Olà giao điểm của ACvà BDhay Olà trung điểm ACvà BD.
Ta có: OMlà đường trung bình của tam giác BD'Dnên $OM//BD'$
Do đó, $d\left( AC;BD' \right)=d\left( BD';\left( MAC \right) \right)=d\left( B;\left( MAC \right) \right)=d\left( D;\left( MAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Tứ diện D.AMCcó 3 cạnh DA, DC, DMđôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D;\left( MAC \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$
Do đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a \\
& y=a \\
& z=a \\
\end{aligned} \right.$
Vậy thể tích của hình hộp đã cho là: $V=xyz=2{{a}^{3}}.~$
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng dvà d' là khoảng cách từ 1 điểm trên dđến mặt phẳng (α) đi qua d' và song song với d.
Tính cách kích thước của hình hộp chữ nhật qua các khoảng cách giữa 2 đường thẳng đã cho.
Cách giải:
Qua B, kẻ $BH\bot B'C(H\in B'C),BK\bot AB'(K\in ~AB')~$
Ta thấy BHlà đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng ABvà 'B Cnên BH= $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
BKlà đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng BCvà AB' nên BK= $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Do đó ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi Mlà trung điểm DD', Olà giao điểm của ACvà BDhay Olà trung điểm ACvà BD.
Ta có: OMlà đường trung bình của tam giác BD'Dnên $OM//BD'$
Do đó, $d\left( AC;BD' \right)=d\left( BD';\left( MAC \right) \right)=d\left( B;\left( MAC \right) \right)=d\left( D;\left( MAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Tứ diện D.AMCcó 3 cạnh DA, DC, DMđôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( D;\left( MAC \right) \right)}=\dfrac{1}{D{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}$
Do đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{5}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
& \dfrac{1}{{{z}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2a \\
& y=a \\
& z=a \\
\end{aligned} \right.$
Vậy thể tích của hình hộp đã cho là: $V=xyz=2{{a}^{3}}.~$
Đáp án B.