Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=AD=a\sqrt{2},A'A=a.$ Tính theo $a$ khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AC.$

Phương pháp:
- Chứng minh $d\left( A'B;AC \right)=d\left( D;\left( ACD' \right) \right).$
- Chứng minh $AC\bot \left( ODD' \right)$ với $O=AC\cap BD,$ trong $\left( ODD' \right)$ kẻ $OH\bot OD'.,$ chứng minh $d\left( D;\left( ACD' \right) \right)=OH.$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:

Ta có $CD'//A'B$ nên $d\left( A'B;AC \right)=d\left( A'B;\left( ACD' \right) \right)=d\left( B;\left( ACD' \right) \right).$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $O$ là trung điểm của $BD.$
Vì $BD\cap \left( ACD' \right)=O$ nên $\dfrac{d\left( B;\left( ACD' \right) \right)}{d\left( D;\left( ACD' \right) \right)}=\dfrac{BO}{DO}=1\Rightarrow d\left( B;\left( ACD' \right) \right)=d\left( D;\left( ACD' \right) \right).$
Trong $\left( ODD' \right)$ kẻ $DH\bot OD'\left( H\in OD' \right).$
Vì $AB=AD=a\sqrt{2}$ nên là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BD,$ lại có $AC\bot DD'$
$\Rightarrow AC\bot \left( ODD' \right)\Rightarrow AC\bot DH.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot AC \\
& DH\bot OD' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot \left( ACD' \right)\Rightarrow d\left( D;\left( ACD' \right) \right)=DH.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$ nên $BD=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a\Rightarrow OD=a.$
$\Rightarrow OD=DD'=a\Rightarrow \Delta ODD'$ vuông cân tại $D\Rightarrow DH=\dfrac{OD}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Vậy $d\left( A'B';AC \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$