Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD. A'B'C'D'$ có $AB=a; AD=2a; AA'=2a.$ Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABB'C'?$
A. $9\pi {{a}^{2}}.$
B. $4\pi {{a}^{2}}.$
C. $12\pi {{a}^{2}}.$
D. $36\pi {{a}^{2}}.$
Ta có: $AB\bot \left(BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BC'\Rightarrow \Delta ABC'$ vuông tại $B.$
Lại có: $B'C'\bot \left(ABB'A' \right)\Rightarrow B'C'\bot AB'\Rightarrow \Delta AB'C'$ vuông tại $B'.$
Gọi $I$ là trung điểm của $A'C\Rightarrow IA=IB=IB'=IC'=R.$ Mặt khác, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nên $R=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}+AA{{'}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}.$
Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABB'C'$ là: $S=4\pi {{R}^{2}}=9\pi {{a}^{2}}.$
A. $9\pi {{a}^{2}}.$
B. $4\pi {{a}^{2}}.$
C. $12\pi {{a}^{2}}.$
D. $36\pi {{a}^{2}}.$
Ta có: $AB\bot \left(BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BC'\Rightarrow \Delta ABC'$ vuông tại $B.$
Lại có: $B'C'\bot \left(ABB'A' \right)\Rightarrow B'C'\bot AB'\Rightarrow \Delta AB'C'$ vuông tại $B'.$
Gọi $I$ là trung điểm của $A'C\Rightarrow IA=IB=IB'=IC'=R.$ Mặt khác, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nên $R=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}+AA{{'}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}.$
Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABB'C'$ là: $S=4\pi {{R}^{2}}=9\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án A.