Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật ${ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}$ có ${AB=a,AD=a\sqrt{3}.}$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${B{B}'}$ và ${A{C}'.}$
A. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${a\sqrt{3}}$.
Ta có $BB'$ song song với $\left( ACC'A' \right).$ Vậy $d\left( BB',AC' \right)=d\left( B,\left( ACC'\text{A}' \right) \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, khi đó $BH\bot AC,BH\bot AA'$
Vậy $BH\bot \left( ACC'A' \right),$ hay $d\left( BB',AC' \right)=d\left( B,\left( ACC'A' \right) \right)=BH$
Trong tam giác vuông ABC ta có $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Khi đó $d\left( BB',AC' \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
A. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${a\sqrt{3}}$.
Ta có $BB'$ song song với $\left( ACC'A' \right).$ Vậy $d\left( BB',AC' \right)=d\left( B,\left( ACC'\text{A}' \right) \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, khi đó $BH\bot AC,BH\bot AA'$
Vậy $BH\bot \left( ACC'A' \right),$ hay $d\left( BB',AC' \right)=d\left( B,\left( ACC'A' \right) \right)=BH$
Trong tam giác vuông ABC ta có $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Khi đó $d\left( BB',AC' \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đáp án C.