Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=2a,AD=A{A}'=a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $D{C}'$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của điểm ${D}'$ lên ${A}'{C}'\Rightarrow {D}'K\bot {A}'{C}'$.
Gọi $H$ là hình chiếu của điểm ${D}'$ lên $DK\Rightarrow {D}'H\bot DK$.
Chứng minh được ${D}'H\bot \left( D{A}'{C}' \right)$. Suy ra $d\left( {D}'; \left( D{A}'{C}' \right) \right)={D}'H$.
Xét $\Delta {A}'{D}'{C}'$ có ${D}'K=\dfrac{{D}'{A}'.{D}'{C}'}{\sqrt{{D}'{{{{A}'}}^{2}}+{D}'{{{{C}'}}^{2}}}}=\dfrac{a. 2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Xét $\Delta D{D}'K$ có ${D}'H=\dfrac{{D}'D.{D}'K}{\sqrt{{D}'{{D}^{2}}+{D}'{{K}^{2}}}}=\dfrac{a. \dfrac{2\sqrt{5}a}{5}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a}{3}$.
Ta có $AC \text{//}{A}'{C}'\Rightarrow AC\text{//} \left( D{A}'{C}' \right)$.
Suy ra $d\left( AC; D{C}' \right)=d\left( AC; \left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( C; \left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( {D}'; \left( D{A}'{C}' \right) \right)={D}'H=\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của điểm ${D}'$ lên $DK\Rightarrow {D}'H\bot DK$.
Chứng minh được ${D}'H\bot \left( D{A}'{C}' \right)$. Suy ra $d\left( {D}'; \left( D{A}'{C}' \right) \right)={D}'H$.
Xét $\Delta {A}'{D}'{C}'$ có ${D}'K=\dfrac{{D}'{A}'.{D}'{C}'}{\sqrt{{D}'{{{{A}'}}^{2}}+{D}'{{{{C}'}}^{2}}}}=\dfrac{a. 2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Xét $\Delta D{D}'K$ có ${D}'H=\dfrac{{D}'D.{D}'K}{\sqrt{{D}'{{D}^{2}}+{D}'{{K}^{2}}}}=\dfrac{a. \dfrac{2\sqrt{5}a}{5}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{2\sqrt{5}a}{5} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a}{3}$.
Ta có $AC \text{//}{A}'{C}'\Rightarrow AC\text{//} \left( D{A}'{C}' \right)$.
Suy ra $d\left( AC; D{C}' \right)=d\left( AC; \left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( C; \left( D{A}'{C}' \right) \right)=d\left( {D}'; \left( D{A}'{C}' \right) \right)={D}'H=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án D.