Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = 2 a, A D = A A^{'} = a

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

A C

và

D C^{'}

bằng
A.

\frac{\sqrt{6} a}{3}

.
B.

\frac{\sqrt{3} a}{2}

.
C.

\frac{\sqrt{3} a}{3}

.
D.

\frac{2 a}{3}

.

Gọi

K

là hình chiếu của điểm

D^{'}

lên

A^{'} C^{'} \Rightarrow D^{'} K ⊥ A^{'} C^{'}

.
Gọi

H

là hình chiếu của điểm

D^{'}

lên

D K \Rightarrow D^{'} H ⊥ D K

.
Chứng minh được

D^{'} H ⊥ (D A^{'} C^{'})

. Suy ra

d (D^{'}; (D A^{'} C^{'})) = D^{'} H

.
Xét

Δ A^{'} D^{'} C^{'}

có

D^{'} K = \frac{D^{'} A^{'} . D^{'} C^{'}}{\sqrt{D^{'} {A^{'}}^{2} + D^{'} {C^{'}}^{2}}} = \frac{a . 2 a}{\sqrt{a^{2} + 4 a^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5} a}{5}

.
Xét

Δ D D^{'} K

có

D^{'} H = \frac{D^{'} D . D^{'} K}{\sqrt{D^{'} D^{2} + D^{'} K^{2}}} = \frac{a . \frac{2 \sqrt{5} a}{5}}{\sqrt{a^{2} + {(\frac{2 \sqrt{5} a}{5})}^{2}}} = \frac{2 a}{3}

.
Ta có

A C // A^{'} C^{'} \Rightarrow A C // (D A^{'} C^{'})

.
Suy ra

d (A C; D C^{'}) = d (A C; (D A^{'} C^{'})) = d (C; (D A^{'} C^{'})) = d (D^{'}; (D A^{'} C^{'})) = D^{'} H = \frac{2 a}{3}

.

Đáp án D.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có...