Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,{C}'{D}',{D}'D$ (tham khảo hình vẽ).
Biết thể tích khối hộp bằng $144$, thể tích khối tứ diện $AMNP$ bằng
A. $15$.
B. $24$.
C. $20$.
D. $18$.
Cách 1. Gọi $S,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật $\Rightarrow S.h=144$.
Gọi $E=PN\cap DC$, $Q$ trung điểm $CD$.
Ta có ${{S}_{\Delta ADE}}={{S}_{\Delta ADQ}}=\dfrac{S}{4},{{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{S}{2},{{S}_{\Delta MDQ}}=\dfrac{S}{8}\Rightarrow {{S}_{AEQM}}=\dfrac{7S}{8}$
$\Rightarrow V{}_{N.AEQM}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7S}{8}.h=42$. Lại có ${{V}_{P.AEQM}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7S}{8}.\dfrac{h}{2}=21$.
Ta có ${{S}_{\Delta NPQ}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{CD{D}'{C}'}}\begin{matrix}
, & d\left( M,\left( CD{D}'{C}' \right) \right) \\
\end{matrix}=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( CD{D}'{C}' \right) \right)\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=6$.
Vậy ta có ${{V}_{AMNP}}={{V}_{N.AEQM}}-\left( {{V}_{P.AEQM}}+{{V}_{MNPQ}} \right)=42-21-6=15.$
Cách 2. Gọi $E=PN\cap DC$, suy ra $P$ trung điểm $NE$.
Khi đó $\dfrac{{{V}_{N.APM}}}{{{V}_{N.AEM}}}=\dfrac{NP}{NE}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{N.AEM}}.$
Ta có ${{S}_{\Delta AEM}}=\dfrac{5}{8}{{S}_{ABCD}}$, $d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=h$.
Suy ra ${{V}_{N.AEM}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta AEM}}.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5}{8}.{{S}_{ABCD}}.h=\dfrac{5}{24}V$ . Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{5}{48}.V=15$.
Cách 3. (Phương pháp trắc nghiệm – đặc biệt hóa và dùng phương pháp tọa độ hóa)
A. $15$.
B. $24$.
C. $20$.
D. $18$.
Gọi $E=PN\cap DC$, $Q$ trung điểm $CD$.
Ta có ${{S}_{\Delta ADE}}={{S}_{\Delta ADQ}}=\dfrac{S}{4},{{S}_{\Delta ADM}}=\dfrac{S}{2},{{S}_{\Delta MDQ}}=\dfrac{S}{8}\Rightarrow {{S}_{AEQM}}=\dfrac{7S}{8}$
$\Rightarrow V{}_{N.AEQM}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7S}{8}.h=42$. Lại có ${{V}_{P.AEQM}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{7S}{8}.\dfrac{h}{2}=21$.
Ta có ${{S}_{\Delta NPQ}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{CD{D}'{C}'}}\begin{matrix}
, & d\left( M,\left( CD{D}'{C}' \right) \right) \\
\end{matrix}=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( CD{D}'{C}' \right) \right)\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=6$.
Vậy ta có ${{V}_{AMNP}}={{V}_{N.AEQM}}-\left( {{V}_{P.AEQM}}+{{V}_{MNPQ}} \right)=42-21-6=15.$
Cách 2. Gọi $E=PN\cap DC$, suy ra $P$ trung điểm $NE$.
Khi đó $\dfrac{{{V}_{N.APM}}}{{{V}_{N.AEM}}}=\dfrac{NP}{NE}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{N.AEM}}.$
Ta có ${{S}_{\Delta AEM}}=\dfrac{5}{8}{{S}_{ABCD}}$, $d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=h$.
Suy ra ${{V}_{N.AEM}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta AEM}}.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5}{8}.{{S}_{ABCD}}.h=\dfrac{5}{24}V$ . Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{5}{48}.V=15$.
Cách 3. (Phương pháp trắc nghiệm – đặc biệt hóa và dùng phương pháp tọa độ hóa)
Đáp án A.