Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD\cdot {A}'{B}'{C}'{D}'$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,{A}'{C}',B{B}'$. Tính thể tích của khối tứ diện $CMNP$.
A. $\dfrac{1}{8}V$.
B. $\dfrac{7}{48}V$.
C. $\dfrac{1}{6}V$.
D. $\dfrac{5}{48}V$.
A. $\dfrac{1}{8}V$.
B. $\dfrac{7}{48}V$.
C. $\dfrac{1}{6}V$.
D. $\dfrac{5}{48}V$.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác
(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ lần lượt thuộc $SA,SB,SC$ Khi đó,
Trong $mp\left( BDD'B' \right)$, gọi $E=BD\cap NP.$
$P$ là trung điểm của $NE.$
$\Rightarrow {{V}_{N.CMP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{N.CME}}.$ (1)
Gọi $F=MC\cap BD,O$ là trung điểm của BD.
Ta có: $\dfrac{BF}{DF}=\dfrac{MB}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BF=\dfrac{1}{2}DF\Rightarrow BF=\dfrac{2}{3}BO$
$\Rightarrow BF=\dfrac{2}{3}BE\Rightarrow BF=\dfrac{2}{5}EF.$
$\Rightarrow {{S}_{MCE}}=\dfrac{5}{2}{{S}_{MCB}}=\dfrac{5}{2}.\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{5}{8}{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{N.CME}}=\dfrac{5}{8}{{V}_{N.ABCD}}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{5}{24}V.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{V}_{N.CMP}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{24}V=\dfrac{5V}{48}.$
(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ lần lượt thuộc $SA,SB,SC$ Khi đó,
$\dfrac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{S{{A}_{1}}}{SA}.\dfrac{S{{B}_{1}}}{SB}.\dfrac{S{{C}_{1}}}{SC}$
Cách giải: $P$ là trung điểm của $NE.$
$\Rightarrow {{V}_{N.CMP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{N.CME}}.$ (1)
Gọi $F=MC\cap BD,O$ là trung điểm của BD.
Ta có: $\dfrac{BF}{DF}=\dfrac{MB}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BF=\dfrac{1}{2}DF\Rightarrow BF=\dfrac{2}{3}BO$
$\Rightarrow BF=\dfrac{2}{3}BE\Rightarrow BF=\dfrac{2}{5}EF.$
$\Rightarrow {{S}_{MCE}}=\dfrac{5}{2}{{S}_{MCB}}=\dfrac{5}{2}.\dfrac{1}{4}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{5}{8}{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{N.CME}}=\dfrac{5}{8}{{V}_{N.ABCD}}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{5}{24}V.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{V}_{N.CMP}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{24}V=\dfrac{5V}{48}.$
Đáp án D.