Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD\cdot {A}'{B}'{C}'{D}';AC=3;{B}'{D}'=4$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và ${B}'{D}'$ bằng 5 , góc giữa hai đường thẳng $AC$ và ${B}'{D}'$ bằng ${{60}^{\circ }}$. Gọi $M$ là trọng tâm tam giác $ABC;N,P,Q,R$ lần lượt là trung điểm của $A{D}',A{B}',{B}'C,C{D}',S$ là điểm nằm trên cạnh ${A}'{C}'$ sao cho ${A}'S=\dfrac{1}{4}{A}'{C}'$. Thể tích của khối đa diện $MNPQRS$ bằng:
A. $\dfrac{10\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{15\sqrt{3}}{2}$.
D. $10\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{10\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{15\sqrt{3}}{2}$.
D. $10\sqrt{3}$.
Phương pháp:
Lập tỉ số thể tích khối đa diện MNPQRS và thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'.$
Cách giải:
Ta có: $d\left( AC;B'D' \right)=5.$
$\Rightarrow d\left( \left( ABCD \right);\left( A'B'C'D' \right) \right)=5.$
$\Rightarrow h=5.$
Do $BD//B'D'$ nên $\left( AC;B'D' \right)=\left( AC;BD \right)={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow AOB={{60}^{0}}$ hoặc $AOB={{120}^{0}}.$
$\Rightarrow \sin AOB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{AOB}}=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin AOB$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=3\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=3\sqrt{3}.5=15\sqrt{3}.$
Nhận xét: bốn điểm N, P, Q, R đồng phẳng, $\left( NPQR \right)//\left( ABCD \right),d\left( M;\left( NPQR \right) \right)=d\left( S;\left( NPQR \right) \right)=\dfrac{1}{2}h$ và ${{S}_{NPQR}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{MNPQRS}}=2{{V}_{M.NPQR}}=2.\dfrac{1}{4}.{{V}_{M.A'B'C'D'}}=2.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{6}.15\sqrt{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
Lập tỉ số thể tích khối đa diện MNPQRS và thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'.$
Cách giải:
$\Rightarrow d\left( \left( ABCD \right);\left( A'B'C'D' \right) \right)=5.$
$\Rightarrow h=5.$
Do $BD//B'D'$ nên $\left( AC;B'D' \right)=\left( AC;BD \right)={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow AOB={{60}^{0}}$ hoặc $AOB={{120}^{0}}.$
$\Rightarrow \sin AOB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{AOB}}=\dfrac{1}{2}.OA.OB.\sin AOB$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=3\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=3\sqrt{3}.5=15\sqrt{3}.$
Nhận xét: bốn điểm N, P, Q, R đồng phẳng, $\left( NPQR \right)//\left( ABCD \right),d\left( M;\left( NPQR \right) \right)=d\left( S;\left( NPQR \right) \right)=\dfrac{1}{2}h$ và ${{S}_{NPQR}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow {{V}_{MNPQRS}}=2{{V}_{M.NPQR}}=2.\dfrac{1}{4}.{{V}_{M.A'B'C'D'}}=2.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{1}{6}.15\sqrt{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án B.