Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,A'D'$ sao cho $AM=\dfrac{1}{2}AB,BN=\dfrac{1}{4}BC,A'P=\dfrac{1}{3}A'D'.$ Thể tích của khối tứ diện $MNPD'$ tính theo $V$ bằng
A. $\dfrac{V}{36}.$
B. $\dfrac{V}{12}.$
C. $\dfrac{V}{18}.$
D. $\dfrac{V}{24}.$
Ta xét lăng trụ tam giác $ABA'.DCD'$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{2}V.$
Kéo dài $D'N$ cắt $A'B$ tại $E.$
+) $\dfrac{EN}{ED'}=\dfrac{BN}{A'D'}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{3}{4};\text{ }\dfrac{A'B}{EA'}=\dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{EA'}{BA'}=\dfrac{4}{3}.$
+) $\dfrac{{{V}_{D'.A'ME}}}{{{V}_{D'.A'AB}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MA'E}}}{{{S}_{AA'B}}}=\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{A'E}{A'B}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{D'.A'ME}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{D'.A'AB}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{D'DC.A'AB}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}V=\dfrac{1}{9}V.$
Vậy $\dfrac{{{V}_{D'.PMN}}}{{{V}_{D'.A'ME}}}=\dfrac{D'P}{D'A'}.\dfrac{D'M}{D'M}.\dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{2}{3}.1.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{D'.PMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{D'.A'ME}}=\dfrac{1}{18}V.$
A. $\dfrac{V}{36}.$
B. $\dfrac{V}{12}.$
C. $\dfrac{V}{18}.$
D. $\dfrac{V}{24}.$
Ta xét lăng trụ tam giác $ABA'.DCD'$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{2}V.$
Kéo dài $D'N$ cắt $A'B$ tại $E.$
+) $\dfrac{EN}{ED'}=\dfrac{BN}{A'D'}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{3}{4};\text{ }\dfrac{A'B}{EA'}=\dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{EA'}{BA'}=\dfrac{4}{3}.$
+) $\dfrac{{{V}_{D'.A'ME}}}{{{V}_{D'.A'AB}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MA'E}}}{{{S}_{AA'B}}}=\dfrac{MB}{AB}.\dfrac{A'E}{A'B}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow {{V}_{D'.A'ME}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{D'.A'AB}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{D'DC.A'AB}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}V=\dfrac{1}{9}V.$
Vậy $\dfrac{{{V}_{D'.PMN}}}{{{V}_{D'.A'ME}}}=\dfrac{D'P}{D'A'}.\dfrac{D'M}{D'M}.\dfrac{D'N}{D'E}=\dfrac{2}{3}.1.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{D'.PMN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{D'.A'ME}}=\dfrac{1}{18}V.$
Đáp án C.