Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat{ADC}={{120}^{0}}.$ Mặt bên $DCC'D'$ là hình chữ nhật và tạo với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Gọi $M,N,P,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,A'D',CC',BB'.$ Tính thể tích của khối đa diện $MNPKA'$ theo $a$ biết $AA'=2a.$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}$
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{32}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$
B. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}$
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{32}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$
Cách giải:
Gọi $L,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $DC,D'C'.$
Ta có: $\Delta BCD$ đều nên $ML\bot CD.$
Lại có $DCC'D'$ là hình chữ nhật nên $QL\bot CD.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABCD \right)\cap \left( DCC'D' \right)=CD \\
& ML\subset \left( ABCD \right),ML\bot CD \\
& QL\subset \left( DCC'D' \right),QL\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( DCC'D' \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( ML;QL \right)={{60}^{0}}$
Ta có: $DC\bot \left( BLQ \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( BLQ \right)$
$d\left( Q;\left( ABCD \right) \right)=\sin \left( BL;QL \right).LQ=\sin {{60}^{0}}.2a=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=d\left( Q;\left( ABCD \right) \right).2{{S}_{\Delta BCD}}=a\sqrt{3}.a\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{3}.$
Vì $PK//A'N$ nên $A',N,P,K$ đồng phẳng.
$\Rightarrow {{V}_{MNPKA'}}={{V}_{M.A'NPK}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{M.A'DPK}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{AMK.DLP}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{AMK.D'LP}}.$
Lại có ${{V}_{AMK.D'LP}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}.$
Vậy ${{V}_{MNPKA'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
Gọi $L,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $DC,D'C'.$
Ta có: $\Delta BCD$ đều nên $ML\bot CD.$
Lại có $DCC'D'$ là hình chữ nhật nên $QL\bot CD.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABCD \right)\cap \left( DCC'D' \right)=CD \\
& ML\subset \left( ABCD \right),ML\bot CD \\
& QL\subset \left( DCC'D' \right),QL\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( DCC'D' \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( ML;QL \right)={{60}^{0}}$
Ta có: $DC\bot \left( BLQ \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( BLQ \right)$
$d\left( Q;\left( ABCD \right) \right)=\sin \left( BL;QL \right).LQ=\sin {{60}^{0}}.2a=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=d\left( Q;\left( ABCD \right) \right).2{{S}_{\Delta BCD}}=a\sqrt{3}.a\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{3}.$
Vì $PK//A'N$ nên $A',N,P,K$ đồng phẳng.
$\Rightarrow {{V}_{MNPKA'}}={{V}_{M.A'NPK}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{M.A'DPK}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{V}_{AMK.DLP}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{AMK.D'LP}}.$
Lại có ${{V}_{AMK.D'LP}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}.$
Vậy ${{V}_{MNPKA'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9{{a}^{3}}}{16}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
Đáp án A.