Google
Câu hỏi: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và $\angle BAD={{60}^{0}}$. Mặt chéo ACC'A' nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng thời ACC'A' cũng là hình thoi có $\angle {A}'AC={{60}^{0}}$. Thể tích khối tứ diện ACB'D' là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức: ${{V}_{AC{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
- Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( P \right)\bot \left( Q \right)=d \\
a\subset \left( P \right),a\bot d \\
\end{array} \right.\Rightarrow a\bot \left( Q \right)$.
- Tính thể tích khối lăng trụ = tích chiều cao và diện tích đáy tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD$ ⇒O là trung điểm của AC và BD.
Vì ACC'A' là hình thoi nên AA' = AC, lại có $\angle {A}'AC={{60}^{0}}$ (gt) nên $\Delta {A}'AC$ là tam giác đều $\Rightarrow {A}'O\bot AC$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( AC{C}'{A}' \right)\bot \left( ABCD \right)=AC \\
{A}'O\subset \left( AC{C}'{A}' \right),{A}'O\bot AC \\
\end{array} \right.\Rightarrow {A}'O\bot \left( ABCD \right)$.
Xét tam giác ABC có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), $\angle BAD={{60}^{0}}\left( gt \right)$ nên tam giác ABC đều cạnh a.
$\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
$\Rightarrow \Delta {A}'AC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ $\Rightarrow {A}'O=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy ${{V}_{AC{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}.{A}'O.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
- Sử dụng kiến thức: ${{V}_{AC{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
- Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( P \right)\bot \left( Q \right)=d \\
a\subset \left( P \right),a\bot d \\
\end{array} \right.\Rightarrow a\bot \left( Q \right)$.
- Tính thể tích khối lăng trụ = tích chiều cao và diện tích đáy tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD$ ⇒O là trung điểm của AC và BD.
Vì ACC'A' là hình thoi nên AA' = AC, lại có $\angle {A}'AC={{60}^{0}}$ (gt) nên $\Delta {A}'AC$ là tam giác đều $\Rightarrow {A}'O\bot AC$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( AC{C}'{A}' \right)\bot \left( ABCD \right)=AC \\
{A}'O\subset \left( AC{C}'{A}' \right),{A}'O\bot AC \\
\end{array} \right.\Rightarrow {A}'O\bot \left( ABCD \right)$.
Xét tam giác ABC có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), $\angle BAD={{60}^{0}}\left( gt \right)$ nên tam giác ABC đều cạnh a.
$\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
$\Rightarrow \Delta {A}'AC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ $\Rightarrow {A}'O=\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy ${{V}_{AC{B}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\dfrac{1}{3}.{A}'O.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án B.