Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và $\mathrm{\angle }BAD={60}^0$. Mặt chéo ACC’A’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đồng...

Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức: $V_{AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}$.
- Sử dụng định lí $\{\begin{array}{l}\left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)=d\\ a\subset \left(P\right),a\mathrm{\perp }d\end{array}\Rightarrow a\mathrm{\perp }\left(Q\right)$.
- Tính thể tích khối lăng trụ = tích chiều cao và diện tích đáy tương ứng.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD$ ⇒O là trung điểm của AC và BD.
Vì ACC'A' là hình thoi nên AA' = AC, lại có $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }AC={60}^0$ (gt) nên $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }AC$ là tam giác đều $\Rightarrow A^{\prime }O\mathrm{\perp }AC$
Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)=AC\\ A^{\prime }O\subset \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right),A^{\prime }O\mathrm{\perp }AC\end{array}\Rightarrow A^{\prime }O\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.
Xét tam giác ABC có: AB = AD (do ABCD là hình thoi), $\mathrm{\angle }BAD={60}^0\left(gt\right)$ nên tam giác ABC đều cạnh a.
$\Rightarrow AO={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ và $S_{ABC}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\Rightarrow S_{ABCD}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}$.
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }AC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ $\Rightarrow A^{\prime }O={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3a}{2}}$.
Vậy $V_{AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}.A^{\prime }O.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{3a}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}}$.