Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bên bằng 1; đáy ABCD là một hình chữ nhật có các cạnh $BA=\sqrt{3},AD=\sqrt{7}$, các mặt bên $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( ADD'A' \right)$ hợp với mặt đáy các góc theo thứ tự ${{45}^{0}}$ và ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối hộp là:
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
B. 7
C. $\sqrt{21}$
D. 3
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
B. 7
C. $\sqrt{21}$
D. 3
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên $\left( A'B'C'D' \right)$
Trong gọi $\left( A'B'C'D' \right)$ M,N lần lượt là hình chiếu của Hlên
$A'B',A'D'$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& A'B'\bot AH \\
& A'B'\bot HM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'B'\bot \left( AHM \right)\Rightarrow A'B'\bot AM$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABB'A \right)\cap \left( A'B'C'D' \right)=A'B' \\
& \left( ABB'A \right)\supset AM\bot A'B' \\
& \left( A'B'C'D' \right)\supset HM\bot A'B' \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( ABB'A' \right);\left( A'B'C'D' \right) \right)=\angle AMH={{45}^{0}}$
Chứng minh tương tự ta có $\angle ANH={{60}^{0}}$
Đặt $AM'=x,A'N=y.~$
Vì $\text{A }\!\!'\!\!\text{ }MHN$ là hình chữ nhật nên $NH=A'M=x,MH=A'N=y.~$
Xét tam giác vuông AHMcó $\angle AMH={{45}^{0}}$ nên $AH=MH$. $\tan {{45}^{0}}=y.~$
Xét tam giác vuông AHNcó $\angle ANH={{60}^{0}}$ nên $AH=NH.\tan {{60}^{0}}=x\sqrt{3}$
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
$\begin{aligned}
& A'H=\sqrt{A'{{M}^{2}}+M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\
& AH=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A'{{H}^{2}}}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
\end{aligned}$
Do đó ta có
$\begin{aligned}
& y=x\sqrt{3}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
& \Leftrightarrow x\sqrt{3}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+3{{x}^{2}} \right)} \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=1-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{7}}{7} \\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{21}}{7}=AH \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=AH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.\sqrt{3}.\sqrt{7}=3$
Gọi H là hình chiếu của A lên $\left( A'B'C'D' \right)$
Trong gọi $\left( A'B'C'D' \right)$ M,N lần lượt là hình chiếu của Hlên
$A'B',A'D'$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& A'B'\bot AH \\
& A'B'\bot HM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'B'\bot \left( AHM \right)\Rightarrow A'B'\bot AM$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABB'A \right)\cap \left( A'B'C'D' \right)=A'B' \\
& \left( ABB'A \right)\supset AM\bot A'B' \\
& \left( A'B'C'D' \right)\supset HM\bot A'B' \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( ABB'A' \right);\left( A'B'C'D' \right) \right)=\angle AMH={{45}^{0}}$
Chứng minh tương tự ta có $\angle ANH={{60}^{0}}$
Đặt $AM'=x,A'N=y.~$
Vì $\text{A }\!\!'\!\!\text{ }MHN$ là hình chữ nhật nên $NH=A'M=x,MH=A'N=y.~$
Xét tam giác vuông AHMcó $\angle AMH={{45}^{0}}$ nên $AH=MH$. $\tan {{45}^{0}}=y.~$
Xét tam giác vuông AHNcó $\angle ANH={{60}^{0}}$ nên $AH=NH.\tan {{60}^{0}}=x\sqrt{3}$
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
$\begin{aligned}
& A'H=\sqrt{A'{{M}^{2}}+M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\
& AH=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A'{{H}^{2}}}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
\end{aligned}$
Do đó ta có
$\begin{aligned}
& y=x\sqrt{3}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
& \Leftrightarrow x\sqrt{3}=\sqrt{1-\left( {{x}^{2}}+3{{x}^{2}} \right)} \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=1-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{7}}{7} \\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{21}}{7}=AH \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=AH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.\sqrt{3}.\sqrt{7}=3$
Đáp án D.