Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$. ABCD là hình thang vuông tại A và B biết $AB=2a;AD=3BC=3a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo a biết góc giữa mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $.
A. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
B. $6\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Dựng $AM\bot CD$ tại M. Ta có: $\widehat{SMA}=60{}^\circ $.
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AD+BC}{2}.AB=4{{a}^{2}}$.
$CD=\sqrt{{{\left( AD-BC \right)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC={{a}^{2}}$.
${{S}_{ACD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABC}}=3{{a}^{2}}.{{S}_{ACD}}=\dfrac{1}{2}AM.CD\Rightarrow AM=\dfrac{2{{S}_{ACD}}}{CD}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$
Ta có: $SA=AM.\tan \widehat{SMA}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}a\Rightarrow {{v}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
A. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
B. $6\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Dựng $AM\bot CD$ tại M. Ta có: $\widehat{SMA}=60{}^\circ $.
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AD+BC}{2}.AB=4{{a}^{2}}$.
$CD=\sqrt{{{\left( AD-BC \right)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC={{a}^{2}}$.
${{S}_{ACD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABC}}=3{{a}^{2}}.{{S}_{ACD}}=\dfrac{1}{2}AM.CD\Rightarrow AM=\dfrac{2{{S}_{ACD}}}{CD}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$
Ta có: $SA=AM.\tan \widehat{SMA}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}a\Rightarrow {{v}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.