Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{7}a}{7}$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ là
A. $V=\dfrac{1}{36}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
Gọi $H , K$ lần lượt là trung điểm của $AB , CD$ ; $E$ là hình chiếu của $H$ lên $SK$.
Ta có $AB // CD\Rightarrow AB // \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HE=\dfrac{\sqrt{7}a}{7}$.
Ta có $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \Delta SHK$ vuông tại $H$.
Đặt $AB=x\Rightarrow SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
$HE$ là đường cao trong tam giác vuông $SHK$ nên
$\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{7}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
B. $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
Ta có $AB // CD\Rightarrow AB // \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HE=\dfrac{\sqrt{7}a}{7}$.
Ta có $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \Delta SHK$ vuông tại $H$.
Đặt $AB=x\Rightarrow SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}.$
$HE$ là đường cao trong tam giác vuông $SHK$ nên
$\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{7}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18}$.
Đáp án D.