Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên...

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ ; $K$ là hình chiếu của $I$ lên $SJ$.
Đặt cạnh đáy $AB=x\Rightarrow SI={\displaystyle \frac{x}{2}},IJ=x$.
Do $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left(SCD\right)\Rightarrow d(AB,SD)=d(I,\left(SCD\right))=IK={\displaystyle \frac{IS.IJ}{\sqrt{I{S}^2+I{J}^2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}a}{5}}$.
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x.{\displaystyle \frac{x}{2}}}{\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}a}{5}}\iff x=3a$.
Do mặt bên $\left(SAB\right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy nên $SI\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.
Hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SI={\displaystyle \frac{3a}{2}}$ và diện tích đáy $S_{ABCD}={\left(3a\right)}^2=9a^2$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{ABCD}.SI={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{3a}{2}}.9a^2={\displaystyle \frac{9}{2}}{a}^3$.