Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\dfrac{3\sqrt{5}a}{5}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
A. $V=\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{27}{2}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ ; $K$ là hình chiếu của $I$ lên $SJ$.
Đặt cạnh đáy $AB=x\Rightarrow SI=\dfrac{x}{2},IJ=x$.
Do $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,SD \right)=d\left( I,\left( SCD \right) \right)=IK=\dfrac{IS.IJ}{\sqrt{I{{S}^{2}}+I{{J}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{5}a}{5}$.
$\Rightarrow \dfrac{x.\dfrac{x}{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{5}a}{5}\Leftrightarrow x=3a$.
Do mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy nên $SI\bot \left( ABCD \right)$.
Hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SI=\dfrac{3a}{2}$ và diện tích đáy ${{S}_{ABCD}}={{\left( 3a \right)}^{2}}=9{{a}^{2}}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.9{{a}^{2}}=\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
A. $V=\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{27}{2}{{a}^{3}}$.
D. $V=\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
Đặt cạnh đáy $AB=x\Rightarrow SI=\dfrac{x}{2},IJ=x$.
Do $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( AB,SD \right)=d\left( I,\left( SCD \right) \right)=IK=\dfrac{IS.IJ}{\sqrt{I{{S}^{2}}+I{{J}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{5}a}{5}$.
$\Rightarrow \dfrac{x.\dfrac{x}{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}}=\dfrac{3\sqrt{5}a}{5}\Leftrightarrow x=3a$.
Do mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy nên $SI\bot \left( ABCD \right)$.
Hình chóp $S.ABCD$ có đường cao $SI=\dfrac{3a}{2}$ và diện tích đáy ${{S}_{ABCD}}={{\left( 3a \right)}^{2}}=9{{a}^{2}}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.9{{a}^{2}}=\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.