Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng cách từ $O$ đến mặt bên là $a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Gọi cạnh đáy của hình vuông $ABCD$ là $x$ $\left( x>0 \right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có: $OM=\dfrac{x}{2}$
Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $x$ $\Rightarrow SM=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OM\bot BC \\
& SO\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOM \right) $ $ \Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SOM \right) $ theo giao tuyến $ SM$
Kẻ $OK\bot SM$ $\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK$
Từ giả thiết, suy ra $OK=a$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác $SOM$, ta có:
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.{{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}.\sqrt{2}}{2}.{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có: $OM=\dfrac{x}{2}$
Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $x$ $\Rightarrow SM=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OM\bot BC \\
& SO\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOM \right) $ $ \Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SOM \right) $ theo giao tuyến $ SM$
Kẻ $OK\bot SM$ $\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK$
Từ giả thiết, suy ra $OK=a$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác $SOM$, ta có:
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{x\sqrt{2}}{2}.{{x}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}.\sqrt{2}}{2}.{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Đáp án A.