Cho hình chóp tứ giác đều $S. ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $2a, O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Gọi $M$ là trung điểm $\text{AO}\text{.}$ Tính...

Ta có: $\dfrac{MC}{OC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow d\left(M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left(O;\left( SCD \right) \right).$
Kẻ $OH\bot CD; OI\bot SH$. Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OH \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left(SOH \right)\Rightarrow \left(SCD \right)\bot \left(SOH \right).$
Mà $\left\{ \left(SCD \right)\cap \left(SOH \right)=SH; OI\bot SH\Rightarrow OI\bot \left(SCD \right) \right.$ hay $OI=d\left(O;\left( SCD \right) \right).$
Có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}; OH=a.$
Trong tam giác vuông $SOH:OI=\dfrac{SO. OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}. A}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
$d\left(M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}. D\left(O;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$