Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a\sqrt{11},$ côsin của...

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Đặt $SO=h$, $OA=OB=OC=OD=k$ $\left( h,k>0 \right)$. Vì $SA=a\sqrt{11}$ nên ${{h}^{2}}+{{k}^{2}}=11{{a}^{2}}$ $\left( 1 \right)$.
CÁCH 1

Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot SO \\
& BD\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC$.
Trong $\left( SAC \right)$, kẻ $OH\bot SC$ tại $H\Rightarrow SC\bot \left( BHD \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SC\bot HB \\
& SC\bot HD \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=\widehat{\left( HB,HD \right)}\Rightarrow \cos \left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=\left| \cos \widehat{BHD} \right|=\dfrac{1}{10}$.
$\Delta SOC$ vuông tại $O$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{SO.OC}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{C}^{2}}}}=\dfrac{hk}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}$.
$\Delta DHO$ vuông tại $O$ có $D{{H}^{2}}=D{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}={{k}^{2}}+\dfrac{{{h}^{2}}.{{k}^{2}}}{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}=\dfrac{{{k}^{2}}\left( 2{{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}$.
$\Rightarrow {{\cos }^{2}}\widehat{DHO}=\dfrac{O{{H}^{2}}}{D{{H}^{2}}}=\dfrac{{{h}^{2}}}{2{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}$.
Vì $\Delta SBC=\Delta SCD$ nên $HB=HD\Rightarrow \Delta BHD$ cân tại $H\Rightarrow HO$ là phân giác của $\widehat{BHD}$.
$\Rightarrow \widehat{BHD}=2.\widehat{DHO}\Rightarrow \cos \widehat{BHD}=2{{\cos }^{2}}\widehat{BHO}-1=\dfrac{2{{h}^{2}}}{2{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}-1=\dfrac{-{{k}^{2}}}{2{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}$.
Ta có $\left| \cos \widehat{BHD} \right|=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \dfrac{{{k}^{2}}}{2{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}=2{{h}^{2}}$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta tìm được $\left\{ \begin{aligned}
& {{h}^{2}}=9{{a}^{2}} \\
& {{k}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h=3a \\
& k=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SO=3a \\
& AB=2a \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot 3a.{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}$.
CÁCH 2
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình sau, với $O\left( 0;0;0 \right)$, $S\left( 0;0;h \right)$, $D\left( k;0,0 \right)$, $C\left( 0;k;0 \right)$, $B\left( -k;0;0 \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{SC}=\left( 0;k;-h \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( k;k;0 \right)$, $\overrightarrow{DC}=\left( -k;k;0 \right)$.
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BC} \right]=\left( hk;-hk;-{{k}^{2}} \right)$, $\left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{DC} \right]=\left( hk;hk;{{k}^{2}} \right)$.
Đặt $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( SBC \right)}}}$, $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( SCD \right)}}}$.
Khi đó, chọn $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\dfrac{\left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BC} \right]}{k}=\left( h;-h;-k \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\dfrac{\left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{DC} \right]}{k}=\left( h;h;k \right)$.
Theo giả thiết, $\cos \left( \left( SBC \right),\left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \dfrac{{{k}^{2}}}{2{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}=\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}=2{{h}^{2}}$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta tìm được $\left\{ \begin{aligned}
& {{h}^{2}}=9{{a}^{2}} \\
& {{k}^{2}}=2{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& h=3a \\
& k=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SO=3a \\
& AB=2a \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot 3a.{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}$.