Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên bằng $a$ và diện tích đáy bằng ${{a}^{2}}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng
A. $a\sqrt{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $K$ là trung điểm $BC\Rightarrow OK\bot BC$
Suy ra $\left( SOK \right)\bot \left( SBC \right)$.
Dựng $OH\bot SK\left( H\in SK \right)\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)$
${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow AB=a$
$SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ : $d\left( A,(SBC) \right)=2d\left( O,(SBC) \right)=2OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Cách khác:
$d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{SO.{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $K$ là trung điểm $BC\Rightarrow OK\bot BC$
Suy ra $\left( SOK \right)\bot \left( SBC \right)$.
Dựng $OH\bot SK\left( H\in SK \right)\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)$
${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow AB=a$
$SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ : $d\left( A,(SBC) \right)=2d\left( O,(SBC) \right)=2OH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Cách khác:
$d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{SO.{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án C.