Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên bằng $a$ và diện tích đáy bằng ${{a}^{2}}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ $A$ đến...

Do hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có diện tích đáy bằng ${{a}^{2}}$ nên $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ đường chéo $AC=a\sqrt{2}.$
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD,$ xét tam giác vuông $SOC$ ta có:
$SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},$ vì $OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Thể tích khối chóp $S.OBC$ là $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{OBC}}.SO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}.$
Diện tích tam giác $SBC$ là ${{S}_{SBC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ vì $SBC$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$
Ta có $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=2d\left( O,\left( SBC \right) \right)=2h$ vì $AC=2OC.$
Mặt khác ta lại có thể tích khối chóp $S.OBC$ là $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{SBC}}.h$
$\Rightarrow h=\dfrac{3V}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=2h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$