Cho hình chóp tứ giác đều $S. ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O;$ cạnh $a.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC.$ Góc giữa đường...

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của OA ta có $MH//SO\Rightarrow MH\bot \left(ABCD \right).$
$\Rightarrow HN$ là hình chiếu của $MN$ lên $\left(ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left(MN;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left(MN; HN \right)=\angle MNH={{60}^{0}}.$
Xét tam giác $CHN$ có: $CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}, CH=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4},\angle HCN={{45}^{0}}.$
$\Rightarrow H{{N}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{N}^{2}}-2CH. CN.\cos {{45}^{0}}$
$H{{N}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-2.\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$H{{N}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{8}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
Xét tam giác vuông $MNH$ có: $MN=\dfrac{NH}{\cos {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$
Trong $\left(SAC \right)$ gọi $E=CM\bigcap SO\Rightarrow \left(MBC \right)\cap \left(SBD \right)=BE.$
Trong $\left(MBC \right)$ gọi $I=MN\cap BE\Rightarrow I=MN\cap \left(SBD \right).$
Gọi $K$ là trung điểm của $OB\Rightarrow NK//OC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot BD \\
& OC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left(SBD \right)\Rightarrow NK\bot \left(SBD \right).$
$\Rightarrow IK$ là hình chiếu của $IN$ lên $\left(SBD \right).$
$\Rightarrow \angle \left(MN;\left( SBD \right) \right)=\angle \left(IN;\left( SBD \right) \right)=\angle \left(IN; IK \right)=\angle NIK.$
Ta có $NK=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác MAC ta có: $\dfrac{EM}{EC}.\dfrac{OC}{OA}.\dfrac{SA}{SM}=1\Leftrightarrow \dfrac{EM}{EC}. 1.2=1\Leftrightarrow \dfrac{EM}{EC}=\dfrac{1}{2}.$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác MNC ta có: $\dfrac{IM}{IN}.\dfrac{BN}{BC}.\dfrac{EC}{EM}=1\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IN}.\dfrac{1}{2}. 2=1\Leftrightarrow IM=IN.$
$\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.$
Xét tam giác vuông $INK$ có: $\sin \angle NIK=\dfrac{NK}{IN}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}:\dfrac{a\sqrt{10}}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$
Vậy $\cos \angle NIK=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\angle NIK}=\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$