Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O;$ cạnh $a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC.$ Góc giữa đường thẳng...

Từ $M$ hạ $MK\bot AO$ tại $K.$ Suy ra $\left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\left( MN,NK \right)=\widehat{MNK}\Rightarrow \widehat{MNK}={{60}^{0}}.$
$K{{N}^{2}}=C{{K}^{2}}+N{{C}^{2}}-2CK.NC.\cos {{45}^{0}}={{\left( \dfrac{3}{4}a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}-2\dfrac{3}{4}a\sqrt{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5}{8}{{a}^{2}}\Rightarrow KN=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
Suy ra $MK=NK.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}.$
Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ ta có
$S\left( 0;0;\dfrac{a\sqrt{30}}{2} \right);A\left( 0;-\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0 \right);M\left( 0;-\dfrac{a\sqrt{2}}{4};\dfrac{a\sqrt{30}}{4} \right).$
$C\left( 0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0 \right);B\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right);N\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{4};\dfrac{a\sqrt{2}}{4};0 \right).$
$\overrightarrow{MN}\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{4};\dfrac{2a\sqrt{2}}{4};-\dfrac{a\sqrt{30}}{4} \right)=-\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\left( 1;-2;\sqrt{15} \right).$ Chọn $\overrightarrow{u}\left( 1;-2;\sqrt{15} \right)$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $MN.$
Mặt phẳng $\left( SBD \right)$ có phương trình là $y=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( 0;1;0 \right).$
$\sin \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{2}{\sqrt{1+4+15}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \cos \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$