Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A,G$ và song song với $BD,$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $E,M,F.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.AEMF.$
A. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
B. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
C. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
D. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}.$
Gọi $O=AC\cap BD.$ Ta có $\left( SD,\left( ABCD \right) \right)=\left( SD,OD \right)=\widehat{SDO}\Rightarrow \widehat{SDO}={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow SO=OD\tan \widehat{SDO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
Ta có ${{V}_{S.AEMF}}=2{{V}_{S.AEM}}=2\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SM}{SC}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
A. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
B. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
C. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
D. $d=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}.$
Gọi $O=AC\cap BD.$ Ta có $\left( SD,\left( ABCD \right) \right)=\left( SD,OD \right)=\widehat{SDO}\Rightarrow \widehat{SDO}={{60}^{0}}.$
$\Rightarrow SO=OD\tan \widehat{SDO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
Ta có ${{V}_{S.AEMF}}=2{{V}_{S.AEM}}=2\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SM}{SC}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}.$
Đáp án A.