Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ theo $a$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$.
B. $d=a\sqrt{3}$.
C. $d=\dfrac{4a\sqrt{5}}{3}$.
D. $d=a\sqrt{5}$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,M$ là trung điểm của $CD,$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OM \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOM \right) $ và $ \left( SCD \right)\cap \left( SOM \right)=SM$
Kẻ $OH\bot SM,$ khi đó $d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH=\dfrac{OM.OS}{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{S}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{2\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Mặt khác $AO\cap \left( SCD \right)=C$ và $O$ là trung điểm của $AC,$ suy ra:
$d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}.$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$.
B. $d=a\sqrt{3}$.
C. $d=\dfrac{4a\sqrt{5}}{3}$.
D. $d=a\sqrt{5}$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,M$ là trung điểm của $CD,$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OM \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOM \right) $ và $ \left( SCD \right)\cap \left( SOM \right)=SM$
Kẻ $OH\bot SM,$ khi đó $d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH=\dfrac{OM.OS}{\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{S}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{2\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Mặt khác $AO\cap \left( SCD \right)=C$ và $O$ là trung điểm của $AC,$ suy ra:
$d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án A.