Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên hợp với mặt đáy góc $60{}^\circ $ Hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S,$ đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD.$ Diện tích xung quanh của hình nón $\left( N \right)$ bằng.
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{4}$.
B. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, khi đó $SO$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ tại $O$.
Suy ra $OC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$ nên góc tạo bởi $SC$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SCO}$.
Xét tam giác $SOC$ vuông tại $O$ : $\tan \widehat{SCO}=\dfrac{SO}{OC}\Rightarrow SO=a\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$ : $S{{H}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Diện tích xung quanh của hình nón cần tìm: $S=\pi .r.l=\pi .OH.SH=\pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{7}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{4}$.
B. $\dfrac{2\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, khi đó $SO$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ tại $O$.
Suy ra $OC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$ nên góc tạo bởi $SC$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SCO}$.
Xét tam giác $SOC$ vuông tại $O$ : $\tan \widehat{SCO}=\dfrac{SO}{OC}\Rightarrow SO=a\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Xét tam giác $SOH$ vuông tại $O$ : $S{{H}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
Diện tích xung quanh của hình nón cần tìm: $S=\pi .r.l=\pi .OH.SH=\pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{7}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$.
Đáp án A.