Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a. Thể tích của khối nón ngoại tiếp khối chóp đều S.ABCD bằng:
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Mp(ABM) cắt SC tại trung điểm N của nó. Ta có thiết diện ABMN là hình thang cân. Do đó chu vi của ABMN bằng
$AB+MN+AN+BM=7a\Leftrightarrow 2a+a+2BM=7a\Leftrightarrow BM=2a.$
Đặt $SB=SC=x\left( x>0 \right).$ Xét tam giác cân SBC có BM là trung tuyến:
$B{{M}^{2}}=\dfrac{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{C}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow x=2a\sqrt{2}$
Suy ra $h=SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=a\sqrt{6}$
Khối nón ngoại tiếp khối chóp đều S.ABCD có chiều cao là SO, bán kính đáy là OC
Vậy ${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.a\sqrt{6}=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ (đvtt)
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
$AB+MN+AN+BM=7a\Leftrightarrow 2a+a+2BM=7a\Leftrightarrow BM=2a.$
Đặt $SB=SC=x\left( x>0 \right).$ Xét tam giác cân SBC có BM là trung tuyến:
$B{{M}^{2}}=\dfrac{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{C}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}{2}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow x=2a\sqrt{2}$
Suy ra $h=SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=a\sqrt{6}$
Khối nón ngoại tiếp khối chóp đều S.ABCD có chiều cao là SO, bán kính đáy là OC
Vậy ${{V}_{non}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.a\sqrt{6}=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ (đvtt)
Đáp án B.