Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $30{}^\circ $. Khi đó thể tích của khối chóp bằng
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
B. $4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
B. $4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Khi đó, $S O \perp(A B C D) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}h=S O \\ (\widehat{S D,(A B C D)})=\widehat{S D O}=30^{\circ}\end{array}\right.$
Xét tam giác $SOD$ vuông tại $O$, ta có
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.4{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4{{a}^{3}}.\sqrt{6}}{9}.$.
Xét tam giác $SOD$ vuông tại $O$, ta có
$\tan \widehat{SDO}=\dfrac{SO}{OD}\Rightarrow SO=OD.\tan \widehat{SDO}=\dfrac{1}{2}.2a.\sqrt{2}.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Ta lại có: ${{S}_{ABCD}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.$ Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.4{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{4{{a}^{3}}.\sqrt{6}}{9}.$.
Đáp án A.