Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích Vcủa khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
A. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}}{2}$
B. $V=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$
D. $V=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{2}$
A. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}}{2}$
B. $V=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{2}$
C. $V=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$
D. $V=\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{2}$
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính nhanh: Khối chóp đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\dfrac{{{b}^{2}}}{2h}$.
- Thể tích khối cầu bán kính R là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $OB=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOB$ ta có $SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a$.
⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R=\dfrac{S{{B}^{2}}}{2SO}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2a}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Khối chóp đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\dfrac{{{b}^{2}}}{2h}$.
- Thể tích khối cầu bán kính R là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Giải chi tiết:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $OB=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOB$ ta có $SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a$.
⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R=\dfrac{S{{B}^{2}}}{2SO}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2a}=\dfrac{3a}{2}$.
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án C.