Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $2 a,$ cạnh bên bằng $3 a .$ Tính thể tích $V$ của hình chóp đã cho.

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều

S . A B C D

có cạnh đáy bằng

2 a,

cạnh bên bằng

3 a .

Tính thể tích

V

của hình chóp đã cho.
A.

V = 4 \sqrt{7} a^{3} .

B.

V = \frac{4}{3} a^{3} .

C.

V = \frac{4 \sqrt{7} a^{3}}{3} .

D.

V = \frac{4 \sqrt{7} a^{3}}{9} .

Gọi

O = A C \cap B D .

Vì

S . A B C D

là hình chóp tứ giác đều nên

S O ⊥ (A B C D) .

Theo bài ra ta có:

O A = \frac{1}{2} A C = a \sqrt{2} .

Xét tam giác

S O A

vuông tại

O

ta có:

S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} - {(a \sqrt{2})}^{2}} = a \sqrt{7} .

Diện tích hình vuông

A B C D

bằng:

S_{A B C D} = {(2 a)}^{2} = 4 a^{2} .

Thể tích của khối chóp

S . A B C D

bằng:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{7} .4 a^{2} = \frac{4 \sqrt{7} a^{3}}{3} .

Đáp án C.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Tính thể tích V của hình chóp đã cho.