Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a,$ cạnh bên bằng $3a.$ Tính thể tích $V$ của hình chóp đã cho.
A. $V=4\sqrt{7}{{a}^{3}}.$
B. $V=\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{3}.$
D. $V=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}.$
Gọi $O=AC\cap BD.$
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Theo bài ra ta có: $OA=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}.$
Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}.$
Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng: ${{S}_{ABCD}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{7}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{3}.$
A. $V=4\sqrt{7}{{a}^{3}}.$
B. $V=\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}.$
C. $V=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{3}.$
D. $V=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}.$
Gọi $O=AC\cap BD.$
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Theo bài ra ta có: $OA=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}.$
Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$ ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}.$
Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng: ${{S}_{ABCD}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{7}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án C.