Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $2a.$ Tính theo $a$ thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chóp đã cho.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{24}$.
Ta có: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
$\begin{aligned}
& \bullet \dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{24} \\
& \bullet \dfrac{{{V}_{B.EFN}}}{{{V}_{B.ACS}}}=\dfrac{BE}{BA}.\dfrac{BF}{BC}.\dfrac{BN}{BS}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{B.EFN}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{B.ACS}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{24} \\
\end{aligned}$
Thể tích khối đa diện cần tìm là:
$V={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNPQ}}-4.{{V}_{B.EFN}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}-\dfrac{{{a}^{3}}}{12}-4.\dfrac{{{a}^{3}}}{24}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{5{{a}^{3}}}{24}$.
$\begin{aligned}
& \bullet \dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{24} \\
& \bullet \dfrac{{{V}_{B.EFN}}}{{{V}_{B.ACS}}}=\dfrac{BE}{BA}.\dfrac{BF}{BC}.\dfrac{BN}{BS}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{B.EFN}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{B.ACS}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{24} \\
\end{aligned}$
Thể tích khối đa diện cần tìm là:
$V={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNPQ}}-4.{{V}_{B.EFN}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}-\dfrac{{{a}^{3}}}{12}-4.\dfrac{{{a}^{3}}}{24}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{12}$
Đáp án B.