Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy tam giác vuông tại $A,SA\bot \left( ABC \right).$ Biết mặt bên $\left( SBC \right)$ tạo với đáy một góc...

Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ chứng minh $BC\bot \left( SAH \right).$
- Trong $\left( SAH \right)$ kẻ $AK\bot SH,$ chứng minh $AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A:\left( SBC \right) \right)=AK.$
- Xác định góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính $AH.$ Sử dụng tính chất tam giác vuông cân hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $AK.$
Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $BC,$ vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AH\bot BC$ và $AH=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAH \right).$
Trong $\left( SAH \right)$ kẻ $AK\bot SH,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot SH \\
& AK\bot SB\left( SB\bot \left( SAH \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AK.$
Ta có: $BC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BC\bot SH,$ khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SH\subset \left( SBC \right),SH\bot BC\left( cmt \right) \\
& AH\subset \left( ABC \right),AH\bot BC\left( cmt \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SH;AH \right)=\angle SHA={{45}^{0}}.$
$\Rightarrow \Delta AKH$ vuông cân tại $K\Rightarrow AK=\dfrac{AH}{\sqrt{2}}=a.$
Vậy $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=a.$