Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều ${S.ABC}$ có độ dài cạnh đáy bằng ${a}$, cạnh bên bằng ${a\sqrt{3}}$. Gọi ${O}$ là tâm của đáy ${ABC}$, ${{{d}_{1}}}$ là khoảng cách từ ${A}$ đến mặt phẳng ${(SBC)}$ và ${{{d}_{2}}}$ là khoảng cách từ ${O}$ đến mặt phẳng ${(SBC)}$. Tính ${d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}}$.
A. ${d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{11}}$.
B. ${d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{33}}$.
C. ${d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{11}}$.
D. ${d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}}$.
Gọi Ilà trung điểm BC, O là trọng tâm tam giác ABC
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot BC \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAI \right)\Rightarrow $hạ $ AH\bot SI $ tại H,OK$ \bot $SI tại K.
Khi đó d1= AH, d2= OK. Mặt khác do O là trọng tâm tam giác ABC nên có $\dfrac{IO}{IA}=\dfrac{1}{3}$
Suy ra $\dfrac{{{d}_{2}}}{{{d}_{1}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=4{{d}_{2}}$
Ta có $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};IO=\dfrac{a\sqrt{3}}{6};S{{O}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}=3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{3}$
${{d}_{2}}=\dfrac{OS.OI}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{11}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{22}}{33}a$
$\Rightarrow d=4{{d}_{2}}=\dfrac{8\sqrt{22}}{33}a$
A. ${d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{11}}$.
B. ${d=\dfrac{2a\sqrt{2}}{33}}$.
C. ${d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{11}}$.
D. ${d=\dfrac{8a\sqrt{22}}{33}}$.
Gọi Ilà trung điểm BC, O là trọng tâm tam giác ABC
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot BC \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAI \right)\Rightarrow $hạ $ AH\bot SI $ tại H,OK$ \bot $SI tại K.
Khi đó d1= AH, d2= OK. Mặt khác do O là trọng tâm tam giác ABC nên có $\dfrac{IO}{IA}=\dfrac{1}{3}$
Suy ra $\dfrac{{{d}_{2}}}{{{d}_{1}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=4{{d}_{2}}$
Ta có $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2};AO=\dfrac{a\sqrt{3}}{3};IO=\dfrac{a\sqrt{3}}{6};S{{O}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}=3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{3}$
${{d}_{2}}=\dfrac{OS.OI}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{11}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{22}}{33}a$
$\Rightarrow d=4{{d}_{2}}=\dfrac{8\sqrt{22}}{33}a$
Đáp án D.