Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ đến một mặt bên là $\dfrac{a}{2}$. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, khi đó $O\in AH$ và $AH=a\sqrt{3}, AO=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SH$, ta có $BC\bot OH, BC\bot SO\Rightarrow BC\bot OK$.
Khi đó $OK\bot BC, OK\bot SH\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OK=\dfrac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOH\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SO=a$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.a=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SH$, ta có $BC\bot OH, BC\bot SO\Rightarrow BC\bot OK$.
Khi đó $OK\bot BC, OK\bot SH\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OK=\dfrac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOH\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SO=a$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.a=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{9}$.
Đáp án D.