Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $1$ và chiều cao $h=\sqrt{3}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
A. $\dfrac{25\pi }{3}$.
B. $\dfrac{100\pi }{3}$.
C. $\dfrac{100\pi }{27}$.
D. $100\pi $.
Xét hình chóp tam giác đều $S.ABC$.
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,SA;$ $G$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó, $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều $S.ABC$. Tức là $OS=OA=OB=OC.$
Đặt $OG=x\Rightarrow O{{A}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{1}{3};O{{S}^{2}}={{\left( \sqrt{3}-x \right)}^{2}}$
Mà $O{{A}^{2}}=O{{S}^{2}}$ do đó
$\begin{aligned}
& \Rightarrow x=\dfrac{4}{3\sqrt{3}} \\
& \Rightarrow {{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=\dfrac{25}{27} \\
& \Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{100\pi }{27}. \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{25\pi }{3}$.
B. $\dfrac{100\pi }{3}$.
C. $\dfrac{100\pi }{27}$.
D. $100\pi $.
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC,SA;$ $G$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó, $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều $S.ABC$. Tức là $OS=OA=OB=OC.$
Đặt $OG=x\Rightarrow O{{A}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{1}{3};O{{S}^{2}}={{\left( \sqrt{3}-x \right)}^{2}}$
Mà $O{{A}^{2}}=O{{S}^{2}}$ do đó
$\begin{aligned}
& \Rightarrow x=\dfrac{4}{3\sqrt{3}} \\
& \Rightarrow {{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=\dfrac{25}{27} \\
& \Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\dfrac{100\pi }{27}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.