Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$ và mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của...

Gọi $H,I$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $AB,BC.$
$\Delta ABC$ đều nên $AI\bot BC.$
$S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $SBC$ cân tại $S,$ do đó $SI\bot BC$.
$\left. \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SI\bot BC \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SI,AI \right)=\widehat{SIA}={{60}^{0}}.$
Gọi $AI\cap CH=O$ khi đó $O$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
$S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $SO\bot \left( ABC \right)$ tại $O.$
Trong $\Delta SOI$ vuông tại $O,$ ta có
$\tan {{60}^{0}}=\dfrac{SO}{OI}\Leftrightarrow SO=OI.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{1}{3}AI.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}AI.$
Áp dụng định lý pytago vào $\Delta SAO$ vuông tại $O$ ta có
$S{{A}^{2}}=S{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}AI \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}AI \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{21}}{3} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{7}{9}A{{I}^{2}}=\dfrac{21{{a}^{2}}}{9}\Leftrightarrow A{{I}^{2}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow AI=\sqrt{3}a\Rightarrow SO=\dfrac{\sqrt{3}}{3}AI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}a=a.$
Mà $AI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC\Leftrightarrow BC=\dfrac{2AI}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}=2a.$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AI.BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}a.2a=\sqrt{3}{{a}^{2}}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$