Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng ${\displaystyle \frac{a\sqrt{21}}{3}}$ và mặt bên tạo với mặt đáy một góc ${60}^0.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp.

Giả sử chóp tam giác đều là $S.ABC,$ ta có tam giác $ABC$ đều và $SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$, suy ra
$\{\begin{array}{rl}& AG\mathrm{\perp }BC\\ & SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SG\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAG\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SM.$
Do đó $(\left(SBC\right),\left(ABC\right))=(SM,AM)=\widehat{SMA}={60}^0.$
Gọi cạnh $AB=x(x>0),$ suy ra $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{x\sqrt{3}}{3}};$
$GM={\displaystyle \frac{1}{3}}AM={\displaystyle \frac{x\sqrt{3}}{6}}.$
Lại có $\tan \widehat{SMA}={\displaystyle \frac{SG}{GM}}\iff \tan {60}^0={\displaystyle \frac{SG}{GM}}\iff SG=GM.\tan {60}^0\iff SG={\displaystyle \frac{x}{2}}.$
Mà tam giác $SAG$ vuông tại $G\Rightarrow S{G}^2+G{A}^2=S{A}^2\iff {\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{3}}={\displaystyle \frac{7a^2}{3}}\iff x^2=4a^2\iff x=2a.$
Suy ra $SG=a,S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AM.BC=a^2\sqrt{3}.$ Vậy $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.SG.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{3}}.$