The Collectors

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$ và mặt bên tạo với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp.

Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$ và mặt bên tạo với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}.7\sqrt{21}}{32}.$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}.7\sqrt{21}}{96}.$
image19.png

Giả sử chóp tam giác đều là $S.ABC,$ ta có tam giác $ABC$ đều và $SG\bot \left( ABC \right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$, suy ra
$\left\{ \begin{aligned}
& AG\bot BC \\
& SG\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SG\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAG \right)\Rightarrow BC\bot SM.$
Do đó $\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SM,AM \right)=\widehat{SMA}={{60}^{0}}.$
Gọi cạnh $AB=x\left( x>0 \right),$ suy ra $AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{x\sqrt{3}}{3};$
$GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{x\sqrt{3}}{6}.$
Lại có $\tan \widehat{SMA}=\dfrac{SG}{GM}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\dfrac{SG}{GM}\Leftrightarrow SG=GM.\tan {{60}^{0}}\Leftrightarrow SG=\dfrac{x}{2}.$
Mà tam giác $SAG$ vuông tại $G\Rightarrow S{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=2a.$
Suy ra $SG=a,{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AM.BC={{a}^{2}}\sqrt{3}.$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top