Google
Câu hỏi: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Đường thẳng SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$ Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ), tính cos .α
A. $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$
B. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A. $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$
B. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng đã cho cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách giải:
Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD$
Lại có: $CD\bot AD\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD.$
Mà $\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=\left\{ CD \right\}$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD,~AD \right)~=\angle ~SDA~$
$\Rightarrow \cos ~SDA=\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}$
$=\dfrac{a}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng đã cho cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách giải:
Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD$
Lại có: $CD\bot AD\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD.$
Mà $\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=\left\{ CD \right\}$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SCD \right),\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD,~AD \right)~=\angle ~SDA~$
$\Rightarrow \cos ~SDA=\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}$
$=\dfrac{a}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Đáp án B.