Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $B$ và $F$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{SF}=-2\overrightarrow{BF}$. Mặt phẳng $\left( DEF \right)$ chia khối chóp thành $2$ khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $S$ có thể tích ${{V}_{1}}$, khối đa diện còn lại có thể tích ${{V}_{2}}$ (tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ ?
A. $\dfrac{3}{5}$
B. $\dfrac{1}{5}$
C. $\dfrac{7}{5}$
D. $\dfrac{12}{7}$
Gọi các điểm $H$ và $G$ như hình vẽ. Rõ ràng ta có $F$ là trọng tâm tam giác $SCE$, $G$ là trung điểm của $AB$ và $H$ là trung điểm của $SC.$
Đặt ${{V}_{S.ABCD}}=V$. Vì diện tích tam giác $EDC$ bằng diện tích hình bình hành $ABCD$ và khoảng
cách từ $S$ đến $\left( ABCD \right)$ bằng $2$ lần khoảng cách từ $H$ đến $\left( ABCD \right)$.
Nên ${{V}_{H.ECD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}V$
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.BGF}}}{{{V}_{E.CDH}}}=\dfrac{EB}{EC}\dfrac{EG}{ED}\dfrac{EF}{EH}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{E.BGF}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{E.CDH}}=\dfrac{1}{12}V$
Do đó ${{V}_{2}}=\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12} \right)V=\dfrac{5}{12}V\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}V$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{5}$
A. $\dfrac{3}{5}$
B. $\dfrac{1}{5}$
C. $\dfrac{7}{5}$
D. $\dfrac{12}{7}$
Gọi các điểm $H$ và $G$ như hình vẽ. Rõ ràng ta có $F$ là trọng tâm tam giác $SCE$, $G$ là trung điểm của $AB$ và $H$ là trung điểm của $SC.$
Đặt ${{V}_{S.ABCD}}=V$. Vì diện tích tam giác $EDC$ bằng diện tích hình bình hành $ABCD$ và khoảng
cách từ $S$ đến $\left( ABCD \right)$ bằng $2$ lần khoảng cách từ $H$ đến $\left( ABCD \right)$.
Nên ${{V}_{H.ECD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{2}V$
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.BGF}}}{{{V}_{E.CDH}}}=\dfrac{EB}{EC}\dfrac{EG}{ED}\dfrac{EF}{EH}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{E.BGF}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{E.CDH}}=\dfrac{1}{12}V$
Do đó ${{V}_{2}}=\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12} \right)V=\dfrac{5}{12}V\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{7}{12}V$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{7}{5}$
Đáp án C.