Google
Câu hỏi: Cho hình chóp SABC có $SA=SB=SC=a,\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90{}^\circ ,\widehat{BSC}=60{}^\circ $. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{18}$.
B. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{12}$.
C. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{6}$.
Ta có $AB=AC=a\sqrt{2},BC=a$, suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.
Gọi $I=SM\cap CN$ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $SA\bot \left( SBC \right)$ nên $d\bot \left( SBC \right)$, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $OA=OS=OB=OC$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Ta có $SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=\dfrac{2}{3}SM=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên
$O{{S}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{P}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Diện tích mặt cầu $S=4\pi .S{{O}^{2}}=4\pi .\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{18}$.
B. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{12}$.
C. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{6}$.
Ta có $AB=AC=a\sqrt{2},BC=a$, suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.
Gọi $I=SM\cap CN$ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $SA\bot \left( SBC \right)$ nên $d\bot \left( SBC \right)$, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $OA=OS=OB=OC$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Ta có $SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=\dfrac{2}{3}SM=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên
$O{{S}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{P}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Diện tích mặt cầu $S=4\pi .S{{O}^{2}}=4\pi .\dfrac{7{{a}^{2}}}{12}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án C.