Cho hình chóp SABC có...

Ta có $AB=AC=a\sqrt{2},BC=a$, suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.
Gọi $I=SM\cap CN$ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $SA\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$ nên $d\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Trong mặt phẳng $\left(SAM\right)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $OA=OS=OB=OC$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Ta có $SM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow SI={\displaystyle \frac{2}{3}}SM={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên
$O{S}^2=S{I}^2+S{P}^2={\displaystyle \frac{a^2}{3}}+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}={\displaystyle \frac{7a^2}{12}}\Rightarrow SO={\displaystyle \frac{a\sqrt{21}}{6}}$.
Diện tích mặt cầu $S=4\pi .S{O}^2=4\pi .{\displaystyle \frac{7a^2}{12}}={\displaystyle \frac{7\pi a^2}{3}}$.