Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABC$ có $M , N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $BC , AC $. Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Biết thể tích khối chóp $SABP , SAPN , SBMP$ lần lượt là $45 , 30 , 15$ (như hình dưới).
Thể tích khối chóp $S.PMCN$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 35 ; 40 \right)$.
B. $\left( 30 ; 35 \right)$.
C. $\left( 20 ; 25 \right)$.
D. $\left( 25 ; 30 \right)$.
Thể tích khối chóp $S.PMCN$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 35 ; 40 \right)$.
B. $\left( 30 ; 35 \right)$.
C. $\left( 20 ; 25 \right)$.
D. $\left( 25 ; 30 \right)$.
Ta có $\dfrac{{{V}_{B.SAP}}}{{{V}_{B.SAN}}}=\dfrac{BP}{BN}\Rightarrow \dfrac{BP}{BN}=\dfrac{45}{45+30}=\dfrac{3}{5}$ $\Rightarrow \dfrac{NP}{BP}=\dfrac{2}{3}.$
$\dfrac{{{V}_{A.SBP}}}{{{V}_{A.SBM}}}=\dfrac{AP}{AM}\Rightarrow \dfrac{AP}{AM}=\dfrac{45}{45+15}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow \dfrac{MP}{PA}=\dfrac{1}{3}.$
Đặt $\dfrac{AN}{NC}=x ; \dfrac{BM}{MC}=y$.
Áp dụng định lý Menelaus cho:
+) Tam giác $AMC$ cát tuyến $NPB$ ta có $\dfrac{AN}{NC}.\dfrac{CB}{BM}.\dfrac{MP}{PA}=1$ $\Rightarrow x.\dfrac{y+1}{y}=3$.
+) Tam giác $BNC$ cát tuyến $MPA$ ta có $\dfrac{BM}{MC}.\dfrac{CA}{AN}.\dfrac{NP}{PB}=1$ $\Rightarrow y.\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{3}{2}$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& xy+x=3y \\
& yx+y=\dfrac{3}{2}x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& xy+x=3y \\
& \dfrac{5x}{2}=4y \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow x=\dfrac{7}{5}\Rightarrow \dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7}{5}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABN}}}{{{V}_{S.CBN}}}=\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7}{5}$ $\Rightarrow {{V}_{S.CBN}}=\dfrac{5.{{V}_{S.ABN}}}{7}=\dfrac{5.\left( 45+30 \right)}{7}=\dfrac{375}{7}$.
Do đó ${{V}_{S.PMCN}}={{V}_{S.CBN}}-{{V}_{S.BMP}}$ $=\dfrac{375}{7}-15=\dfrac{270}{7}\approx 38,57$.
$\dfrac{{{V}_{A.SBP}}}{{{V}_{A.SBM}}}=\dfrac{AP}{AM}\Rightarrow \dfrac{AP}{AM}=\dfrac{45}{45+15}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow \dfrac{MP}{PA}=\dfrac{1}{3}.$
Đặt $\dfrac{AN}{NC}=x ; \dfrac{BM}{MC}=y$.
Áp dụng định lý Menelaus cho:
+) Tam giác $AMC$ cát tuyến $NPB$ ta có $\dfrac{AN}{NC}.\dfrac{CB}{BM}.\dfrac{MP}{PA}=1$ $\Rightarrow x.\dfrac{y+1}{y}=3$.
+) Tam giác $BNC$ cát tuyến $MPA$ ta có $\dfrac{BM}{MC}.\dfrac{CA}{AN}.\dfrac{NP}{PB}=1$ $\Rightarrow y.\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{3}{2}$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& xy+x=3y \\
& yx+y=\dfrac{3}{2}x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& xy+x=3y \\
& \dfrac{5x}{2}=4y \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow x=\dfrac{7}{5}\Rightarrow \dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7}{5}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABN}}}{{{V}_{S.CBN}}}=\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{7}{5}$ $\Rightarrow {{V}_{S.CBN}}=\dfrac{5.{{V}_{S.ABN}}}{7}=\dfrac{5.\left( 45+30 \right)}{7}=\dfrac{375}{7}$.
Do đó ${{V}_{S.PMCN}}={{V}_{S.CBN}}-{{V}_{S.BMP}}$ $=\dfrac{375}{7}-15=\dfrac{270}{7}\approx 38,57$.
Đáp án A.