Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ đều tất cả các cạnh bằng ${a}$. Gọi ${M,N}$ lần lượt là trung điểm của ${SA,BC}$.Tính $\cos in$ góc giữa ${MN}$ và mặt phẳng ${(SBD)}$.
A. ${\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{2}}{3}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng SD và O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& ME//NC \\
& ME=NC \\
\end{aligned} \right. $ Suy ra tứ giác MNCE là hình bình hành ở$ \Rightarrow MN//CE$.
+ $\Rightarrow \widehat{MN;\left( SBD \right)}=\widehat{CE;\left( SBD \right)}.$ Mặt khác $CO\bot \left( SBD \right)\Rightarrow \widehat{CE;\left( SBD \right)}=\widehat{CEO}=\alpha $
Suy ra góc giữa MN và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là $\widehat{CEO}=\alpha .$
Ta có EO là đường trung bình của $\Delta SBD\Rightarrow EO=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a}{2}, \Delta SDC$ đều nên $CE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ta tính được ở $\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{EO}{CE}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A. ${\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{2}}{3}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng SD và O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& ME//NC \\
& ME=NC \\
\end{aligned} \right. $ Suy ra tứ giác MNCE là hình bình hành ở$ \Rightarrow MN//CE$.
+ $\Rightarrow \widehat{MN;\left( SBD \right)}=\widehat{CE;\left( SBD \right)}.$ Mặt khác $CO\bot \left( SBD \right)\Rightarrow \widehat{CE;\left( SBD \right)}=\widehat{CEO}=\alpha $
Suy ra góc giữa MN và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là $\widehat{CEO}=\alpha .$
Ta có EO là đường trung bình của $\Delta SBD\Rightarrow EO=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a}{2}, \Delta SDC$ đều nên $CE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ta tính được ở $\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{EO}{CE}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Đáp án D.