Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $SA$ vuông góc mặt phẳng đáy, $SA=a, AD=3a, AB=2a, BC=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $N$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AN=2DN$.
Khi đó $CD \text{//} (SBN)\Rightarrow d(CD,SB)=d(CD,(SBN))=d(D,(SBN))$
Ta có $\dfrac{d(D,(SBN))}{d(A,(SBN))}=\dfrac{DN}{AN}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d(D,(SBN))=\dfrac{1}{2}d(A,(SBN))$
Gọi $K$ là trung điểm của $BN$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SK$.
Ta có $BN\bot AK$ (vì $\Delta ABN$ cân tại $A$ ) và $BN\bot SA$ suy ra $BN\bot (SAK)$.
$AH\bot SK$ và $AH\bot BN$ (vì $BN\bot (SAK)$ ) suy ra $AH\bot (SBN)$.
Do đó $d(A,(SBN))=AH$.
Xét $\Delta ABN$ vuông cân tại $A$ ta có $AK=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta SAK$ vuông cân tại $A$ ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $d(CD,SB)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi $N$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $AN=2DN$.
Khi đó $CD \text{//} (SBN)\Rightarrow d(CD,SB)=d(CD,(SBN))=d(D,(SBN))$
Ta có $\dfrac{d(D,(SBN))}{d(A,(SBN))}=\dfrac{DN}{AN}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d(D,(SBN))=\dfrac{1}{2}d(A,(SBN))$
Gọi $K$ là trung điểm của $BN$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SK$.
Ta có $BN\bot AK$ (vì $\Delta ABN$ cân tại $A$ ) và $BN\bot SA$ suy ra $BN\bot (SAK)$.
$AH\bot SK$ và $AH\bot BN$ (vì $BN\bot (SAK)$ ) suy ra $AH\bot (SBN)$.
Do đó $d(A,(SBN))=AH$.
Xét $\Delta ABN$ vuông cân tại $A$ ta có $AK=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Xét $\Delta SAK$ vuông cân tại $A$ ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $d(CD,SB)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án A.