Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a;AD=4a;SA=a\sqrt{15}$, $SA\bot \left( ABCD \right)$, $M$ là trung điểm của $AD$, $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BC=4BN$. Khoảng cách gữa $MN$ và $SD$ là
A. $\dfrac{2\sqrt{33}a}{11}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{690}a}{23}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{33}}{11}$.
D. $\dfrac{\sqrt{690}a}{23}$.
Gọi $P$ là trung điểm $SA.$ Ta có $SD//MP\Rightarrow SD//\left( MNP \right)$
Do đó $d\left( SD,MN \right)=d\left( SD,\left( MNP \right) \right)=d\left( D,\left( MNP \right) \right)=d\left( A,\left( MNP \right) \right)$ (vì $M$ là trung điểm $AD).$
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ kẻ $AK\bot MN$ và trong mặt phẳng $\left( AKP \right)$ kẻ $AH\bot PK$
Suy ra $d\left( A,\left( MNP \right) \right)=AH$
Ta có $AP=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Gọi $E=MN\cap AB\Rightarrow AE=2a.$
$\Delta AME$ vuông tại $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}$
$\Delta AKP$ vuông tại $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{15{{a}^{2}}}=\dfrac{23}{30{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{690}a}{23}$
Vậy $d\left( SD,MN \right)=\dfrac{\sqrt{690}a}{23}.$
A. $\dfrac{2\sqrt{33}a}{11}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{690}a}{23}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{33}}{11}$.
D. $\dfrac{\sqrt{690}a}{23}$.
Gọi $P$ là trung điểm $SA.$ Ta có $SD//MP\Rightarrow SD//\left( MNP \right)$
Do đó $d\left( SD,MN \right)=d\left( SD,\left( MNP \right) \right)=d\left( D,\left( MNP \right) \right)=d\left( A,\left( MNP \right) \right)$ (vì $M$ là trung điểm $AD).$
Trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ kẻ $AK\bot MN$ và trong mặt phẳng $\left( AKP \right)$ kẻ $AH\bot PK$
Suy ra $d\left( A,\left( MNP \right) \right)=AH$
Ta có $AP=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Gọi $E=MN\cap AB\Rightarrow AE=2a.$
$\Delta AME$ vuông tại $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}$
$\Delta AKP$ vuông tại $A\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{15{{a}^{2}}}=\dfrac{23}{30{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{690}a}{23}$
Vậy $d\left( SD,MN \right)=\dfrac{\sqrt{690}a}{23}.$
Đáp án D.