Cho hình chóp $S . A B C D$ , đáy $A B C D$ là hình chữ nhật $A B = a; A D = 4 a; S A = a \sqrt{15}$ , $S A ⊥ (A B C D)$ , $M$ là trung điểm của $A D$ , $N$ ...

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

, đáy

A B C D

là hình chữ nhật

A B = a; A D = 4 a; S A = a \sqrt{15}

,

S A ⊥ (A B C D)

,

M

là trung điểm của

A D

,

N

thuộc cạnh

B C

sao cho

B C = 4 B N

. Khoảng cách gữa

M N

và

S D

là
A.

\frac{2 \sqrt{33} a}{11}

.
B.

\frac{2 \sqrt{690} a}{23}

.
C.

\frac{a \sqrt{33}}{11}

.
D.

\frac{\sqrt{690} a}{23}

.

Gọi

P

là trung điểm

S A .

Ta có

S D / / M P \Rightarrow S D / / (M N P)

Do đó

d (S D, M N) = d (S D, (M N P)) = d (D, (M N P)) = d (A, (M N P))

(vì

M

là trung điểm

A D) .

Trong mặt phẳng

(A B C D)

kẻ

A K ⊥ M N

và trong mặt phẳng

(A K P)

kẻ

A H ⊥ P K

Suy ra

d (A, (M N P)) = A H

Ta có

A P = \frac{S A}{2} = \frac{a \sqrt{15}}{2}

Gọi

E = M N \cap A B \Rightarrow A E = 2 a .

Δ A M E

vuông tại

A \Rightarrow \frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}}

Δ A K P

vuông tại

A \Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A K^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{4}{15 a^{2}} = \frac{23}{30 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{690} a}{23}

Vậy

d (S D, M N) = \frac{\sqrt{690} a}{23} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a;AD=4a;SA=a15, SA⊥(ABCD), M là trung điểm của AD, N...