Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, $SA=a\sqrt{2}$, $ABCD$ là hình vuông tâm O cạnh $2a$. Góc giữa hai...

Phương pháp giải:
- Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $AC\mathrm{\perp }BD$ tại O (do $ABCD$ là hình vuông).
Ta có: $\{\begin{array}{l}BD\mathrm{\perp }AO\\ BD\mathrm{\perp }SA\end{array}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SAO\right)\Rightarrow BD\mathrm{\perp }SO$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD\\ AO\subset \left(ABCD\right),AO\mathrm{\perp }BD\\ SO\subset \left(ABCD\right),SO\mathrm{\perp }BD\left(cmt\right)\end{array}$ $\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(SBD\right);\left(ABCD\right))=\mathrm{\angle }(SO;AO)=\mathrm{\angle }SOA$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow AO=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác vuông $SAO$ có: $\tan \mathrm{\angle }SOA={\displaystyle \frac{SA}{AO}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}}=1$ $\Rightarrow \mathrm{\angle }SOA={45}^0$.
Vậy $\mathrm{\angle }(\left(SBD\right);\left(ABCD\right))={45}^0$.