Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, $SA=a\sqrt{2}$, $ABCD$ là hình vuông tâm O cạnh $2a$. Góc giữa hai...

Phương pháp giải:
- Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $AC\bot BD$ tại O (do $ABCD$ là hình vuông).
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BD\bot AO \\
BD\bot SA \\
\end{array} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAO \right)\Rightarrow BD\bot SO$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \\
AO\subset \left( ABCD \right),AO\bot BD \\
SO\subset \left( ABCD \right),SO\bot BD\left( cmt \right) \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SO;AO \right)=\angle SOA$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow AO=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác vuông $SAO$ có: $\tan \angle SOA=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$ $\Rightarrow \angle SOA={{45}^{0}}$.
Vậy $\angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)={{45}^{0}}$.