Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=a$, $AD=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
A. $60{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)$ suy ra $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
Suy ra $\left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\left( SC;AC \right)=\widehat{SCA}$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=30{}^\circ $
Vậy góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $30{}^\circ $.
Suy ra $\left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\left( SC;AC \right)=\widehat{SCA}$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=30{}^\circ $
Vậy góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $30{}^\circ $.
Đáp án D.