Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=a\sqrt{3},$ tứ giác $ABCD$ là hình vuông, $BD=a\sqrt{2}$ (minh họa như hình bên dưới). Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ bằng
A. ${{0}^{o}}$.
B. ${{30}^{o}}$.
C. ${{45}^{o}}$.
D. ${{60}^{o}}$.
A. ${{0}^{o}}$.
B. ${{30}^{o}}$.
C. ${{45}^{o}}$.
D. ${{60}^{o}}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BA\bot AD \left( gt \right) \\
& BA\bot SA\left( \text{ do }SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BA\bot \left( SAD \right) $ tại $ A$.
Ta có: $SB\cap \left( SAD \right)=S$ và $BA\bot \left( SAD \right)$ tại $A$ (cmt) nên góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ là góc $\widehat{BSA}$.
Xét $\Delta BSA$ vuông tại $A$ có $SA=a\sqrt{3},BA=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.$
$\tan \widehat{BSA}=\frac{BA}{SA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $\widehat{BSA}={{30}^{o}}$ hay góc giữa $SB$ và mặt $\left( SAD \right)$ bằng ${{30}^{o}}$.
& BA\bot AD \left( gt \right) \\
& BA\bot SA\left( \text{ do }SA\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BA\bot \left( SAD \right) $ tại $ A$.
Ta có: $SB\cap \left( SAD \right)=S$ và $BA\bot \left( SAD \right)$ tại $A$ (cmt) nên góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( SAD \right)$ là góc $\widehat{BSA}$.
Xét $\Delta BSA$ vuông tại $A$ có $SA=a\sqrt{3},BA=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a.$
$\tan \widehat{BSA}=\frac{BA}{SA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $\widehat{BSA}={{30}^{o}}$ hay góc giữa $SB$ và mặt $\left( SAD \right)$ bằng ${{30}^{o}}$.
Đáp án B.