Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right),ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,AD=2a,SA=a\sqrt{3}$. Tang của góc giữa $\left( SBD \right),\left( ABCD \right)$ bằng:
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Phương pháp:
Dựng góc giữa $\left( SBD \right),\left( ABCD \right)$
Cách giải:
Kẻ $AH\bot BD\left( H\in BD \right)$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& SA\bot BD \\
& AH\bot BD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SAH \right)\bot BD$
$\Rightarrow \left( \left( SBD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SH,AH \right)=\angle SHA$
Ta có: $AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Lại có: $\tan \angle SHA=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Dựng góc giữa $\left( SBD \right),\left( ABCD \right)$
Cách giải:
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& SA\bot BD \\
& AH\bot BD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SAH \right)\bot BD$
$\Rightarrow \left( \left( SBD \right),\left( ABCD \right) \right)=\left( SH,AH \right)=\angle SHA$
Ta có: $AH=\dfrac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\dfrac{a.2a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Lại có: $\tan \angle SHA=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Đáp án D.