Cho hình chóp $S.ABCD$ có $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$ vuông tại...

Phương pháp:
- Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $SH\bot AB,$ chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right).$
- Xác định góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt đáy.
- Sử dụng hệ thức lượng, định lí Pytago để tính độ dài các cạnh.
Cách giải:

Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $SH\bot AB,$ chứng minh $SH\bot \left( ABCD \right).$ Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow HC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH.$
$\Delta SAB$ vuông tại $S$ nên $SH=\dfrac{SA.SB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow HB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{3a}{2}.$
$\Rightarrow HC=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}$
$=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$
Vậy $\tan \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\tan \angle SCH=\dfrac{SH}{HC}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.$